课程概览
群论是一门研究对称性的学科，研究一种名为“群”的代数结构。自伽罗瓦在十九世纪发明群论后，群论在现代数学中一直是一个非常重要的研究领域。我们熟知的许多结论，例如“一元五次方程没有根式解”，都和群论有关。许多数论，线性代数，乃至物理和化学的问题都需要使用群论解决。
学习目标
- 学习群论相关知识
- 学习群的基本公理和定义
- 学习群同态和同构
- 学习基础的群的类型
- 研究对称群的性质
- 学习群在集合上的作用
- 学习正规子群和商群
- 学习群在数论和生活中的应用
- 提升学术英语写作能力
- 构建文书主体段落
逐课课程纲要
01群的公理和定义
群，子群，生成群
02群同态
定义，同构，像与核
03群的类型
笛卡尔积，循环群，dihedral group
04置换群
定义，cycles，互斥分解
05陪集和拉格朗日定理
定义，定理证明，低阶群分类，费马小定理
06正规子群
定义，商群，性质和例子
07同构定理
第一，第二及第三同构定理
08群作用
定义，例子，轨道和 stabiliser，柯西定理
09群作用继续
Cayley 定理，共轭作用
10分析总结
总结实验结果、撰写英文实验报告、后续用于文书主体段落
研究方法与成果表达
- 推导：通过定义、定理与证明建立框架。
- 应用：从对称性、群作用与数论例子出发。
- 表达：整理理论分析与英文学术报告。